¿Cómo resolver un Problema de Transporte usando Microsoft Excel?

¡Hola! ¿Qué tal están?

En este corto texto vamos a ver cómo podemos resolver un Problema del Transporte utilizando una herramienta a disposición de todos como Microsoft Excel, sin embargo, no se trata del problema de los ómnibus interurbanos, sino de algo más relacionado con la economía de las empresas, los negocios, y hasta un país.

En efecto, en una sociedad moderna, por lo común existe la necesidad de un constante traslado de existencias de un lugar a otro, aun si no tenemos en cuenta cuando se hace más bien nada más con la idea de obtener beneficios a toda costa, causándole daño por pura codicia a nuestro de por sí maltratado medio ambiente.

En todos lados es necesario llevar arena desde disímiles puntos de extracción hasta los distintos lugares en donde existe una construcción; trasladar artículos desde las distintas fábricas productoras, en donde se los elabora o manufactura, hasta repartirlos en los almacenes y demás sitios en donde satisfacen los deseos de los consumidores; mover caña cortada, reunida previamente en puntos de acopio, hasta los centrales azucareros para su posterior procesamiento.

En fin, la variedad de situaciones de la vida cotidiana en las cuales, como hemos visto, se deben transportar ingentes cantidades de materias primas o mercancías desde un lugar a otro, en verdad podría resultar infinita, y por tanto imposible de enumerar, puesto por lo normal no coinciden casi nunca los sitios donde se obtiene o produce un material, o un producto determinado, y la localización en donde es necesario consumirlo.

En todo caso, aun si se diera la situación y coincidieran los lugares de producción y de consumo, todos debemos de estar de acuerdo en la persistencia de la necesidad de llevar ciertas existencias a otros sitios más lejanos, puesto por lo general la capacidad de producción de un centro productivo no puede cubrir todas las necesidades del centro de consumo situado a una menor distancia, o por el contrario, dicha capacidad resulta superior en comparación con las necesidades locales y el sobrante debe entregarse en otros lados.

Por causa de todo lo dicho, en la economía de toda empresa tiene preponderancia la toma de decisiones acerca de dónde debería de obtener lo necesario para satisfacer las necesidades de cada una de sus unidades de producción, y hacía dónde debería cada una de estas unidades mandar sus productos semielaborados o terminados, de modo se logre hacerlo con los menores costos totales de transporte posibles.

El problema del transporte proviene por tanto de ese hecho evidente, conociendo como existe la necesidad de trasportar muchos materiales constantemente tal como lo hemos expuesto. El costo de obtención de una materia prima o de un producto no es igual en dependencia de dónde se lo obtenga o elabore. Pero también este costo puede variar mucho tanto por la distancia entre cada productor y cada consumidor como por el tipo de transporte a utilizar, el estado de los caminos, etc.

La solución del problema es encontrada cuando se conoce, teniendo muchos puntos de envío o producción a los cuales podemos llamar orígenes y muchos puntos de consumo o de recepción a los cuales podemos llamar destinos, la cantidad óptima de un producto o materia prima determinada a transportar desde cada origen a cada destino de modo el costo total de la operación sea mínimo.

El método matemático por excelencia dedicado a la solución de esta clase de problemas en donde se debe determinar las cantidades de un producto a ser transportadas desde un grupo de orígenes a un grupo de destinos, conocidos en su conjunto como Problema del Transporte, es el método simplex desarrollado en la década del cuarenta del pasado siglo XX por el matemático estadounidense George B. Dantzig; aun cuando es necesario mencionar como antes de ser abordado esta clase de problemas en EE.UU., estaban siendo estudiados en la URSS por Leonid V. Kantorovich, de la universidad de en ese momento Leningrado, porque como deben imaginar, en una economía por naturaleza planificada a gran escala como la de ese país socialista, esta clase de situaciones de optimización se presentó casi desde un comienzo.

Nota: El matemático soviético Leonid V. Kantorovich recibió un premio Nobel por sus grandes logros en sus investigaciones sobre los problemas de optimización como el comentado.

El problema del transporte es en realidad un caso particular de una clase de problema mucho más amplio conocido como problema de programación lineal, una rama esta de la matemática orientada a la solución de problemas de optimización donde la relación entre las variables es lineal.

El proceso para solucionar estos problemas por tanto pasaría en primer lugar por la definición del modelo matemático de programación lineal; aun cuando lo dicho no es estrictamente necesario para resolverlos utilizando una herramienta como Microsoft Excel; o por lo menos no es necesario hacerlo sobre papel si de antemano conocemos cómo implementar dicho modelo matemático usando la mencionada herramienta.

Pero sin duda alguna definir el modelo matemático podría servir para aclarar todos los detalles involucrados y facilitar encontrar la solución.

La definición del modelo matemático de un problema de programación lineal consiste en los siguientes pasos:

1.-Definir la variable de decisión.

2.-Establecer las restricciones del problema.

3.-Establecer la función objetivo.

4.-Resolver el problema por medio del método simplex u otro método disponible.

Todo esto vamos a verlo en más detalle a través de un problema de demostración (el problema ha sido tomado del libro Introducción a la investigación de operaciones).

En este caso se trata de una empresa hipotética nombrada P & T COMPANY, uno de los productos más importantes de la cual consiste en chícharos enlatados.

Los chícharos se preparan en tres enlatadoras distintas (orígenes) y después de eso se mandan usando camiones a cuatro almacenes de distribución (destinos).

La empresa conoce los costos asociados a enviar cada carga de camión desde uno de los orígenes (enlatadora) a cada uno de los destinos (almacén), así como también las capacidades de producción o disponibilidad de cada enlatadora (en cargas de camión) y la asignación o necesidades de cada almacén (también en cargas de camión).

Los datos anteriores están resumidos en la siguiente tabla:

 

		Almacén				Producción
		1	2	3	4
Enlatadora	1	464	513	654	867	75
	2	352	416	690	791	125
	3	995	682	388	685	100
Asignación		80	65	70	85

Los pasos para la definición del modelo matemático de programación lineal para poder resolver el comentado problema de transporte serían ahora:

1.-Definir la variable de decisión.

X_ij - Cantidad de cargas de camión a transportar desde la enlatadora “i” (1 a “m”) al almacén “j” (1 a “n”).

2.-Establecer las restricciones.

Sujeto a:

donde:

A_i – es la sumatoria de las disponibilidades de los orígenes (cargas de camión de latas de chícharos producidas por las enlatadoras).

B_j – es la sumatoria de las necesidades de los destinos (cargas de camión de latas de chícharos para satisfacer la demanda de los almacenes).

En este caso particular “m” vale 3 por haber 3 orígenes (enlatadoras), y “n” vale 4 puesto se disponen de 4 destinos (almacenes de distribución).

En adición, es necesario tener en cuenta como en un problema de transporte sólo se puede encontrar una solución factible inicial si la sumatoria de la disponibilidad de todos los orígenes es igual a la sumatoria de la necesidad de todos los destinos, tal cual lo expresan las siguientes ecuaciones con los valores particulares para nuestro problema de la P & T COMPANY.

En caso, de resultar iguales las sumatorias, se dice que el problema está balanceado, como se comentó antes, y de no ser iguales dichas cantidades sería necesario incluir un origen o un destino ficticio con la disponibilidad o la necesidad adecuada, de modo podamos igualar las sumatorias, puesto esto es una condición necesaria para poder resolver el problema usando el método simplex de transporte.

En el presente problema se cumple la restricción, como pueden ver por las ecuaciones anteriores en donde la sumatoria de la producción o disponibilidades de los orígenes y de las cantidades de asignación o las necesidades de los destinos resultan ser iguales sin la necesidad de incluir ni orígenes ni destinos ficticios.

3.-Función objetivo.

donde:

C_ij – es el costo de transportar una unidad de carga del origen “i” al destino “j”.

La definición del modelo matemático de un problema del transporte, tal como se lo ha hecho en párrafos anteriores, como se ha mencionado puede servir en algunos casos para clarificar mejor los detalles del problema, y notar si es en realidad un problema de transporte y por tanto es posible resolverlo usando este procedimiento.

De todos modos, como también hemos comentado, en una demostración tan sencilla como la presente, definir un modelo matemático no es estrictamente necesario, y lo hemos hecho más bien sólo como una especie de demostración de los pasos; sólo debemos estar conscientes de como en la  práctica muchos de los problemas pueden llegar a tener decenas y hasta cientos de variables, en especial cuando se trata de problemas de empresas de gran tamaño con muchas instalaciones productivas.

Es necesario tener presente además como muchos de los problemas de transporte no consisten en el transporte real de materiales o de artículos desde unos orígenes a un número de destinos sino más bien se tratan de problemas de asignación de recursos en los cuales no está involucrado transporte alguno.

4.-Resolver el problema de transporte usando Solver de Microsoft Excel.

En todo caso, ahora vamos a resolver nuestro problema de transporte planteado antes usando la herramienta Solver propia de Microsoft Excel, y así podremos conocer las cantidades de carga de camión de chícharos enlatados a trasportar desde cada origen a cada destino, de modo los costos totales de la operación sean los mínimos posibles para la empresa P & T COMPANY.

En primer lugar, debemos crear las tablas necesarias como se muestra en la Figura 1 a continuación.

Figura 1: Tablas del problema de transporte.

En la figura podemos ver arriba una tabla a la cual podemos llamar de distribución, en esta tabla es donde, como su nombre nos indica, se obtendrá la distribución óptima; y debajo de esta primera tabla podemos ver otra tabla correspondiente a la tabla de los costes unitarios de transportación expuesta anteriormente.

En adición, en la barra de fórmulas de Microsoft Excel se puede ver la ecuación de la función objetivo por estar la celda correspondiente seleccionada.

Por su parte, las restricciones consisten nada más y nada menos en la implementación de las ecuaciones de las restricciones comentadas antes cuando se hizo la definición del modelo matemático del problema de optimización.

En este momento podemos ir a la ficha Datos de Microsoft Excel y mandar a correr la herramienta Solver (en caso de no mostrarse la herramienta en la mencionada ficha deberá instalarse como un complemento).

En la Figura 2 podemos ver la ventana de la herramienta Solver en la cual han sido establecidos de antemano los distintos parámetros necesarios para obtener la solución del problema una vez demos clic en su botón Resolver.

Figura 2: Parámetros de la herramienta Solver de Microsoft Excel.

La solución del problema podremos verla en la primera tabla o tabla de distribución, mostrada una vez más en la Figura 3, ahora rellena con los valores correspondientes a las cantidades de cargas de camión a ser enviadas desde cada enlatadora a cada uno de los almacenes de distribución de modo el costo de transporte sea mínimo.

Figura 3: Solución del problema de transporte de la P & T COMPANY.

En dicha figura también se muestra el mencionado valor del costo total mínimo que hemos obtenido como solución óptima del problema de transporte (este costo como es de esperar se muestra en la celda de la función objetivo).

En resumen, el uso de este método de optimización puede ser extremadamente útil a las empresas, negocios, o incluso un país (si su economía es planificada), si se desea conseguir un importante ahorro de los recursos disponibles y un mejor funcionamiento de su economía, lo cual redunda favorablemente en su capacidad para competir en los mercados, y hasta podría ser beneficioso en la protección del medio ambiente puesto como se ha dicho evita los despilfarros.

El libro de Microsoft Excel donde se ha implementado el modelo matemático para la solución del problema de transporte de la P & T COMPANY pueden descargarlo en: Problema de la P & T COMPANY.

¿Qué otras herramientas para optimizar el funcionamiento de las empresas conocen?

Me gustaría también pudieran comentar sobre este procedimiento para completar un poco más lo mostrado en este texto si creen se han omitido detalles importantes.

¡Hasta pronto!